Isoler un système matériel implique de diviser l'univers en deux parties distinctes :
Le système matériel en question, noté S, qui comprend un ou plusieurs solides, déformables ou non, parties de solides, fluides (gaz et/ou liquides), représentant un ensemble de particules de masse constante.
Le milieu extérieur à S, noté S', qui englobe tout ce qui n'est pas S et qui est susceptible d'interagir avec ce dernier.
Le principe des actions mutuelles stipule que si un système I exerce sur un système J une action mécanique, alors le système J exerce sur le système I une action mécanique exactement opposée.
Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) stipule qu'un solide est en équilibre statique lorsque ni lui ni ses composants ne sont en mouvement. En équilibre statique, la somme des forces extérieures est nulle, tout comme la somme des moments de ces forces autour d'un point fixe. Formellement, cela signifie que la somme des forces est égale au vecteur nul () et que la somme des moments des forces autour d'un point fixe est également égale au vecteur nul ().
le PFS avec deux forces stipule que lorsque deux forces agissent sur un objet en équilibre, elles ont la même magnitude, la même direction mais des sens opposés, et la ligne droite les reliant indique leur direction. De plus, le principe d'action-réaction s'applique, ce qui signifie que lorsque deux objets interagissent, les forces qu'ils exercent sur chacun ont les mêmes caractéristiques, mais des sens opposés.
Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué à trois forces parallèles stipule que si les trois forces ont des directions parallèles, alors la somme des normes signées de ces forces doit être nulle. La norme signée est la magnitude de la force accompagnée d'un signe (+ ou -) indiquant le sens du vecteur dont la force est issue.
En d'autres termes, si trois forces agissent sur un objet et qu'elles ont des directions parallèles, leur somme totale, prenant en compte les directions positives et négatives, doit être égale à zéro pour que l'objet soit en équilibre.
Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué à trois forces non parallèles stipule que lorsque les trois forces ont des directions différentes, ces directions convergent en un seul point, c'est-à-dire qu'elles sont concourantes.
Dans ce cas, pour déterminer les caractéristiques manquantes des forces, telles que leur magnitude, leur direction ou leur point d'application, une méthode de résolution doit être appliquée. Cette méthode peut être graphique, impliquant la construction de vecteurs forces et leur équilibrage géométrique, ou analytique, en utilisant des équations de l'équilibre des forces selon les lois de la trigonométrie et de la mécanique.
Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué à trois forces peut être résolu de manière graphique, une méthode rapide mais approximative. Pour ce faire :
Étape 1 : Isoler le solide. Identifiez la pièce ou l'assemblage que vous souhaitez étudier et analysez son environnement ainsi que ses contacts avec les autres éléments.
Étape 2 : Réaliser le bilan des actions mécaniques. Dressez un bilan ou une liste des forces externes que le solide subit. Il est préférable de regrouper ces forces dans un tableau récapitulatif, répertoriant toutes les informations disponibles.
Étape 3 : Déterminer la direction manquante grâce au point de concours. Si les trois forces appliquées au solide ont des directions non parallèles, elles convergent en un point commun appeler le point de concours. Pour le trouver, prolongez les vecteurs ou les directions déjà connus jusqu'à ce qu'ils se croisent en un point. Ensuite, reliez le point d'application de la force pour laquelle nous n'avions pas d'information au point de concours.
Étape 4 : Construire et utiliser le triangle des forces.
Dessinez un triangle en plaçant le vecteur dont vous connaissez les caractéristiques. Ensuite, tracez à partir de ses extrémités les droites représentant les directions des deux autres forces.
Tracez les vecteurs manquants en suivant le sens des flèches du premier vecteur.
Appliquez ensuite une échelle appropriée pour déterminer les magnitudes des deux autres forces.
Étape finale : Conclure en présentant les résultats.
Résumez les caractéristiques des actions mécaniques dans un tableau pour une meilleure visualisation et compréhension des résultats obtenus.
Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué à trois forces peut également être résolu de manière analytique. Voici les étapes principales de cette méthode :
Écrire le torseur : Utilisez le torseur, un système d'écriture permettant de représenter la force et son moment, pour noter les égalités du PFS, à savoir l'égalité des forces et l'égalité des moments.
Formulation du système d'équations : À partir des égalités des forces et des moments représentées par les torseurs, extrayez le système d'équations à résoudre pour trouver les inconnues (les caractéristiques des forces) du problème.
Cette approche analytique permet de résoudre les problèmes statiques en exprimant les forces et moments sous forme d'équations, ce qui facilite leur résolution mathématique.
Le treillis, ou système triangulé, est constitué d'un assemblage de barres rectilignes qui forment un réseau de triangles indéformables.
Son intérêt principal réside dans sa capacité à alléger les constructions tout en assurant leur rigidité. En exploitant la structure triangulée, les charges sont réparties de manière équilibrée, ce qui permet de réduire la quantité de matériau nécessaire tout en maintenant la stabilité de la structure.
Dans les treillis, les barres sont des poutres en acier ou en bois, le béton armé étant rarement utilisé en raison de sa propension à la fissuration. Selon leur emplacement dans la structure, elles sont désignées par différents termes.
Les barres utilisées dans les treillis sont souvent asymétriques et peuvent être constituées de sections symétriques doubles ou simples. Ces choix de section dépendent des exigences de la conception et de la charge supportée par chaque barre.
Les nœuds sont les points de rencontre de plusieurs barres dans un treillis.
Dans les treillis en bois, les nœuds sont formés par des clous, des boulons ou des connecteurs. Pour les treillis en acier, les nœuds sont généralement constitués de rivets, de boulons ou de soudures, notamment pour les treillis composés de tubes.
Les hypothèses de calcul pour les treillis sont les suivantes :
Le poids des barres est négligé par rapport aux autres forces agissant sur le système.
Les nœuds sont considérés comme des articulations, ce qui signifie qu'ils ne transmettent pas de moment.
Les charges externes appliquées au système sont contenues dans le plan du treillis et s'appliquent exclusivement aux nœuds de la structure, ce qui implique l'existence uniquement de forces ponctuelles.
Les lignes moyennes des barres sont supposées être dans un même plan et concourantes aux nœuds, ce qui simplifie les calculs en considérant le système comme plan.
D'après les hypothèses précédentes, une barre de la structure est en équilibre sous l'effet des seuls efforts transmis par les nœuds. Elle ne peut donc être soumise qu'à deux efforts opposés, agissant le long de son axe :
Il existe deux cas possibles :
Compression simple
Traction simple
Il existe plusieurs méthodes de calcul pour les treillis, notamment la méthode d'isolement des nœuds (méthode analytique)
a) Pour calculer les inconnues de liaisons extérieures, les forces aux extrémités des barres sont données :
b) En isolant le nœud A et en appliquant le principe fondamental de la statique (PFS), on obtient :
On applique ensuite cette méthode de manière itérative à chaque nœud, en utilisant le principe des actions mutuelles.
Remarque importante : Il est crucial de choisir un ordre de résolution des nœuds de manière à ne pas avoir plus de 2 inconnues à chaque fois. Cela permet de résoudre le système de manière efficace et précise.
et la méthode de Ritter (également une méthode analytique).
a) Dans la méthode d'isolement des nœuds, on commence par calculer les inconnues de liaison, de la même manière que pour la méthode précédente.
b) Ensuite, on réalise une coupure fictive dans la structure et on applique le principe fondamental de la statique (PFS). Cette coupure est destinée à faire apparaître les efforts désirés dans les barres concernées, telles que BC, AE et BE.
L'avantage de cette méthode est la possibilité d'obtenir la valeur des efforts et l'état dans une barre spécifique sans avoir à résoudre l'ensemble du système, ce qui peut être plus efficace dans certains cas.