L'hyperstatisme en mécanique se produit lorsque chaque contact ou liaison entre les pièces d'un assemblage supprime un ou plusieurs degrés de mobilité. Cela peut se traduire par une instabilité, où la pièce peut prendre plusieurs positions si un seul contact est réalisé, ou par une déformation si les contacts sont réalisés pour maintenir la pièce stable.
La mobilité d'une pièce diffère du degré de liberté d'une liaison. Alors qu'un degré de liberté décrit ce qui se passe localement sur une liaison, la mobilité concerne la pièce dans son ensemble. Par exemple, une plaque fixée au mur avec deux vis peut sembler avoir deux degrés de liberté (liaison pivot pour chaque vis), mais en réalité, elle n'a plus aucune mobilité.
L'hyperstatisme est la situation où un assemblage est maintenu avec plus de contraintes que nécessaire, supprimant ainsi plusieurs fois un degré de mobilité d'une pièce.
Pour gérer l'hyperstatisme et éviter la déformation de la plaque tout en assurant qu'elle reste parallèle au mur, on suit cette procédure :
Mettre en place toutes les vis sans les serrer complètement, de manière à pouvoir encore éloigner ou rapprocher la plaque du mur.
Serrer les vis modérément et en croix : commencer par serrer légèrement une vis pour rapprocher la plaque du mur, puis serrer la vis opposée. Répéter cette opération pour les autres vis. Ainsi, la plaque est maintenue contre le mur sans que les vis soient serrées à fond.
Une fois la plaque bien accolée au mur, serrer fermement les vis en croix.
Cette méthode, qui consiste à serrer les vis progressivement et en croix, permet de maintenir la plaque de manière uniforme contre le mur tout en évitant les déformations. Ce processus est similaire à celui utilisé pour serrer une roue de voiture, par exemple.
Les déplacements relatifs entre deux éléments assemblés dans une structure sont généralement des translations et des rotations. Cependant, lors de la déformation de la structure, le centre de gravité de la liaison peut se déplacer légèrement dans le plan de la structure par rapport au repère global de cette structure. Cela introduit la notion de possibilité de déplacements des nœuds d'une structure.
Cette distinction conduit à une première classification des structures :
Structures à nœuds déplaçables : les nœuds peuvent effectuer des translations et des rotations. (Structure non-contreventée)
Structures à nœuds fixes : les nœuds ne peuvent que tourner. (Structure contreventée)
Cette distinction est fondamentale pour l'analyse du comportement des structures. Elle influence les phénomènes d'instabilité des éléments, l'évolution, la conception et le dimensionnement des structures. Par exemple, elle est importante pour déterminer les longueurs de flambement des barres comprimées.
Les encastrements dans les structures se divisent en deux catégories : les encastrements parfaits et les encastrements relatifs.
Encastrement parfait : Il se produit lorsque deux éléments sont solidement fixés ensemble, comme le pied d'un poteau, où le mouvement est totalement restreint.
Encastrement relatif : Il se produit lorsque deux éléments sont joints de manière à permettre un certain degré de mouvement relatif entre eux, tel que le jarret d'un portique. Sous l'effet d'une force, un point sur l'encastrement peut subir à la fois une translation et une rotation.
Les assemblages semi-rigides, introduits par le règlement Eurocode 3, se situent entre les articulations parfaites et les encastrements. Ils présentent un comportement intermédiaire où certains assemblages, autrefois considérés comme articulations, possèdent une certaine rigidité qui leur permet de transmettre un moment et de modifier la distribution des efforts dans la structure.
Inversement, certains assemblages manquent de rigidité pour être considérés comme des encastrements. Cette caractéristique de comportement est illustrée par le diagramme moment/rotation.
L'hyperstaticité externe d'une structure est déterminée par le nombre de liaisons surabondante entre la structure et le sol.
Pour la méthode générale, on distingue les liaisons internes, entre les éléments de la structure, et les liaisons externes, entre la structure et le sol (les appuis). Les degrés de liaison représentent le nombre total d'inconnues de liaison, incluant les liaisons internes et externes.
Pour une étude de l'équilibre des éléments de manière séparée, on obtient :
Dans l'espace : 6×n équations statiques
Dans le plan : 3×n équations statiques
Le degré d'hyperstaticité, noté W, caractérise une structure ou un système matériel, et peut être calculé selon les formules suivantes :
Pour l'espace : W = Σdliaison - 6×n
Pour le plan : W = Σdliaison - 3×n
Ici, « n » représente le nombre de barres et « Σdliaison »la somme des degrés de libertés supprimés par liaisons.
W > 0 : le système est hyperstatique, avec plus d'inconnues que d'équations, il est stable.
W = 0 : le système est isostatique, avec un nombre égal d'inconnues et d'équations, il est stable.
W < 0 : le système est hypostatique, avec moins d'inconnues que d'équations, il est instable.
Attention : En prenant : p = 3 x nombre de barres constituant la structure et q = nombre de liaison supprimé. Lorsque le nombre d'équations d'équilibre statique (3 par barre considérée, donc p) est supérieur au nombre de liaison supprimé (q), cela signifie qu'il existe une possibilité de mouvement, ce qui caractérise une structure hypostatique.
Cependant, il est important de noter que même lorsqu'il y a une possibilité de mouvement, le nombre d'inconnues de liaison n'est pas toujours inférieur au nombre d'équations. Par exemple, l'écart q - p peut être le même pour un mécanisme hyperstatique et une structure isostatique.
Ainsi, seule l'examen de la cinématique de la structure pourra garantir qu'il n'existe pas de mobilité, indépendamment du nombre d'équations et d'inconnues.
L'hyperstaticité interne d'une structure concerne les liaisons redondantes à l'intérieur de la structure, souvent dues à la présence de cadres fermés.
La méthode des cadres est utilisée pour évaluer le degré d'hyperstaticité interne d'une structure. En principe, un cadre ouvert est considéré comme isostatique. Les sollicitations telles que N (effort normal), Vy (effort tranchant vertical) et Mf (moment de flexion) peuvent être déterminées dans n'importe quelle section du cadre en utilisant le torseur de gauche ou de droite. Cependant, un cadre fermé est interne hyperstatique de degré 3. En effectuant une coupe totale pour le rendre ouvert, 3 inconnues hyperstatiques apparaissent, ce qui nous permet de procéder aux calculs.
Le degré d’hyperstaticité des cadres sera calculer le la manière suivante :
Ici, « c » représente le nombre de cadre et « Σdliberté »la somme des degrés de liberté par liaisons.
Attention :
Dans le cas des treillis articulés, une approche particulière est utilisée pour le calcul d’hyperstaticité interne :
b : nombre de barres
n : nombre de nœuds
On posera :
Pour calculer le nombre d'inconnues de liaison :
Dans une articulation, on utilise la formule 2(NB - 1), où NB est le nombre de barres.
Dans le cas d'un encastrement simple, les efforts de liaison sont composés d'une force de deux composantes et d'un couple, ce qui donne 3 inconnues de liaison.
Pour un encastrement multiple, le nombre d'inconnues de liaison est calculé avec la formule 3(NB - 1), où NB est le nombre de barres.