Euler, le mathématicien suisse, a démontré la relation suivante :
Où :
Pcrit est la charge au-delà de laquelle le flambement apparaît.
E est le module de Young du matériau.
I est l'inertie de flexion du profilé
Lfl est la longueur de flambement de la colonne, notée parfois Lfl, Lo ou Lk.
Pour une barre courbe de flèche nominale inférieure à L/10, la formule d’Euler reste applicable (avec une erreur inférieure à 3%) :
Chaque terme de l'équation influence la charge maximale admissible d'une colonne de manière spécifique :
Si l'inertie augmente, la charge maximale admissible augmente également. Une plus grande inertie signifie une résistance accrue à la flexion, ce qui permet à la colonne de supporter des charges plus importantes sans fléchir excessivement.
Le flambement survient lorsque, en raison d'irrégularités du matériau et des forces appliquées, une colonne commence à fléchir sous une charge parallèle à son axe. Cependant, une poutre fléchira sous l'action de charges perpendiculaires à son axe. Le flambement est essentiellement un problème de flexion, et il est logique que l'inertie joue un rôle important dans ce phénomène.
Si le module de Young (E) augmente, la charge maximale admissible augmente également. En remplaçant une colonne en bois par une colonne en acier de même géométrie, la charge qu'elle peut supporter sera beaucoup plus élevée en raison de la plus grande rigidité et résistance de l'acier.
Si la longueur de flambement (Lfl) augmente, la charge maximale admissible diminue. Une colonne plus longue est plus susceptible de fléchir sous charge en raison de son allure, ce qui diminue sa capacité à supporter des charges sans fléchir de manière excessive.
Dans le calcul de la charge maximale admissible d'une colonne, deux aspects importants sont pris en compte :
La longueur de flambement (L0) : C'est la longueur effective de la colonne, qui peut être réduite ou augmentée en fonction des conditions de liaison à ses extrémités.
Les caractéristiques géométriques de la section, exprimées par le rayon de giration (i) : Le rayon de giration représente l'éloignement de la matière par rapport au centre de gravité de la section. Un rayon de giration plus grand indique une distribution de matière plus éloignée de l'axe de la colonne, ce qui peut augmenter sa résistance à la flexion et donc sa capacité à supporter des charges plus importantes avant de fléchir.
La longueur de flambement (L0) d'une colonne dépend des conditions de liaison et est calculée selon différentes formules, généralement en fonction de la longueur réelle de la colonne (L). Par exemple, pour des liaisons similaires à celles considérées par Euler, L0 peut être égale à 2L, 0.5L, L, ou 0.7L.
Rayon de giration : Caractéristique d'une section de poutre servant à déterminer son élancement pour la prise en compte du flambement (racine carrée du moment quadratique par l'aire de la section).
Exemple : Le rayon de giration (i) d'une colonne est calculé en fonction de l'inertie (I) de sa section transversale et de sa surface de matière (Ω). Pour une colonne de section carrée avec un côté de longueur b, l'inertie (I) est calculée comme (b^4)/12 et la surface de matière (Ω) comme b². Par conséquent, le rayon de giration (i) est égal à b/√12.
Le rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration, appelé élancement structural (λ), détermine le risque de flambement, qui augmente avec l'élévation de λ. En général, si λ est inférieur ou égal à 25, il n'y a pas de risque de flambement. Néanmoins l’élancement peut être supérieur, la pression critique doit alors être calculée.